Finite-Difference Methods

Ce manuel propose des méthodes pratiques pour le calcul de quelques structures par la méthode des éléments finis, notamment avec l’utilisation d’une feuille de calcul MS EXCEL. Il est destiné aux apprenants de niveau licence ou ingénieur désireux de s’initier à la méthode des éléments finis pour la modélisation des structures. La théorie de la méthode des éléments finis n’y est pas développée mais un bref rappel des démarches et formules y est fait. Le lecteur désireux d’en savoir davantage est invité à se référer à d’autres ouvrages pour plus de détail (voir en annexe les références bibliographiques).

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Machining processes are frequently investigated by numerical simulations. Usually 2D analyses are carried out in order to reduce CPU times, considering orthogonal cutting conditions. In this way, the computational time sharply reduces and many process variables may be calculated (i.e. forces, chip morphology, shear angle, contact length). On the other hand, the analysis of thermal aspects involved in machining, for instance the temperature distribution reached in tool, still represents an open problem. Finite element codes are able to simulate a very short process time that is not sufficient to reach steady state conditions. Several approaches have been proposed to overcome this problem: in the paper some of them are applied and critically discussed.

Finite Element simulation of orthogonal cutting is nowadays assuming a large relevance; in fact a very large number of papers may be found out in technical literature on this topic. In recent years, numerical simulation was performed to investigate various phenomena such as chip segmentation, force prediction and tool wear. On the other hand, some drawbacks have to be highlighted; due to the geometrical and computational complexity of the updated-Lagrangian formulation mostly used in FE codes, a cutting time of only a few milliseconds can be effectively simulated. Therefore, steady-state thermal conditions are not reached and the simulation of the thermal phenomenon may be ineffective. In order to overcome such problem two different approaches are proposed in this paper. The former is based on a pure thermal simulation once the thermal flow on the tool is properly calculated. The latter, on the contrary, is based on an artificial modification of the heat transfer coefficient at the interface between the chip and the tool in the thermo-mechanical simulation. Both of the proposed methodologies are discussed in the paper, highlighting the advantages and the drawbacks of each of them.

The applications of numerical simulation to machining processes have been more and more growing in the last years: today a quite effective predictive capability has been reached, at least as far as global cutting variables (for instance cutting forces) are concerned. On the other hand, the capability to predict local cutting variables (i.e. pressure on the tool, temperature distribution, residual stresses in the machined surface) has to be heavily improved and verified. At the same time, effective experimental procedures for validating numerical results have to be developed. In this work two different approaches were implemented for temperature measuring: a thermocouple based approach and a thermographic analysis were developed. As well the effectiveness of a couple of typologies of numerical simulation was investigated; the former was a 2D fully thermo-mechanical analysis, the latter a 3D pure thermal one. The results of the study permit to assess that a thermo-mechanical simulation does not permit a satisfactory temperature prediction, while an integrated approach including analytical models and pure thermal FE simulations promises relevant advantages.

The use of numerical simulations for investigating machining processes is remarkably increasing because of the simulation cost is lower than the experiments and the possibility to analyze local variables such as pressures, strains, and temperatures is allowable. Process simulation is very hard from a computational point of view, since it frequently requires remeshing phases and very small time steps. As a consequence, the simulated cutting time is usually of the order of few milliseconds and no steady cutting conditions are generally achieved, at least as far as thermal conditions are concerned. Therefore, nowadays numerical prediction of cutting temperatures cannot be considered fully reliable. In the paper this issue was taken into account: a mixed Lagrangian-Eulerian numerical approach was utilized and the global heat transfer (film) coefficient at the tool-chip interface was derived through an inverse approach. Finally, the dependence of the film coefficient on pressure and temperature on the rake face was investigated.

Stability analyses are routinely performed in order to assess the safe and functional design of an excavated slope (e.g. open pit mining, road cuts, etc.), and/or the equilibrium conditions of a natural slope. The analysis technique chosen depends on both site conditions and the potential mode of failure, with careful consideration being given to the varying strengths, weaknesses and limitations inherent in each methodology. This paper presents a review of numerical techniques used in rock slope stability analysis emphasising recent developments in numerical modelling, including advances in computer visualisation and the use of continuum and discontinuum numerical modelling codes.

The damping efficiency of vertical porous baffles is investigated for a dynamically coupled fluid-vessel system. The system comprises of a two-dimensional vessel, with a rectangular cross-section, partially filled with fluid, undergoing rectilinear motions with porous baffles obstructing the fluid motion. The baffles pierce the surface of the fluid, thus the problem can be considered as separate fluid filled regions of the vessel, connected by infinitely thin porous baffles, at which transmission conditions based on Darcy's law are applied. The fluid is assumed to be inviscid, incompressible and irrotational such that the flow in each region is governed by a velocity potential. The application of Darcy's law at the baffles is significant as it makes the system non-conservative, and thus the resulting characteristic equation for the normal modes leads to damped modes coupled to the moving vessel. Numerical evaluations of the characteristic equation show that the lowest frequency mode typically has the smallest decay rate, and hence will persist longest in an experimental setup. The maximum decay rate of the lowest frequency mode occurs when the baffles split the vessel into identically sized regions.

A new approach in the finite difference framework is developed, which consists of three steps: choosing the dimension of the local approximation subspace, constructing a vector basis for this subspace, and determining the coefficients of the linear combination. New schemes were developed to form the basis of the local approximation subspace, which were derived by approximating only the k^2u term of the Helmholtz equation. The construction of a basis of the local approximation subspace allows the new approach to be able to represent any finite difference scheme that belongs to this subspace. The new method is both consistent and capable of minimizing the dispersion relation for all stencils in all dimensions. In the one-dimensional case and 3-point stencil, pollution error is eliminated. In the two-dimensional (2D) case and 5-point stencil, the Complete Centered Finite Difference Method presents a dispersion relation equivalent to Galerkin/Least-Squares Finite Element Method. In the 2D case and 9-point stencil, two versions were developed using two different bases for the local approximation space. Both versions are equivalent and exhibit a dispersion relation similar to Quasi Stabilized Finite Element Method. Additionally, the dispersion analysis revealed a connection between the coefficients of the linear system and the stencil symmetry.

A new formalism in the finite difference framework is developed, which consists of three steps: choosing the dimension of the local approximation subspace, constructing a vector basis for this subspace, and determining the coefficients of the linear combination [1, 3]. This new approach called the Complete Method is capable to generate any finite difference scheme that belongs to this subspace, and can be applied to any PDE. The Helmholtz equation is the PDE that describes the time-harmonic of the wave equation. It is well known that finite difference and finite element methods exhibit the ‘error pollution effect’ for medium and high wavenumber. When applied to the Helmholtz equation on uniform meshes, the Complete Finite Difference Method is both consistent and capable of minimizing the dispersion relation for all stencils in all dimensions [1, 3]. In this case, the vectors used to form the basis of the complete method are the classical centered scheme and new schemes developed by modifying only the k2u term of the PDE [1, 2, 3, 4]. The coefficients of the linear combination are chosen in such a way as to minimize the dispersion relation. In the 1D case and 3-point stencil, pollution error is eliminated. In the 2D case and 5-point stencil, the Complete Centered Finite Difference Method presents a dispersion relation equivalent to Galerkin/Least-Squares Finite Element Method. In the 2D case and 9-point stencil, two versions were developed using two different bases for the local approximation subspace. Both versions are equivalent and exhibit a dispersion relation similar to Quasi Stabilized Finite Element Method. Numerical results confirm the good performance of the new formalism.

La présence des singularités géométriques dans les structures telles que les trous est une nécessité technologique pour des besoins mécaniques comme l’assemblage des pièces et les canalisations. Cette présence peut conduire à un affaiblissement de la structure en raison de l’augmentation locale de la contrainte. Ce phénomène, appelé concentration des contraintes, peut provoquer l’endommagement des structures métalliques ou composites et influe négativement sur leur sécurité. Dans cette ensemble d’études analytiques, numériques et expérimentales nous présentons l’effet de la présence des trous circulaire et elliptique sur le comportement mécanique des plaques en matériaux composites. Il s’agit de déterminer la distribution des contraintes autour et loin du trou sous les sollicitations de traction, compressions et cisaillement. L’étude est focalisée sur la détermination du facteur de concentration des contraintes qui est considéré comme un inducteur de l’augmentation locale de la cont...

Notre but est de proposer un modèle d'un géomatériau composite aléatoirement renforcé de type TexSol T M [1, 2] (un mélange sable-fil). La stratégie de modélisation consiste à découper un cube de TexSol T M en fines plaques, le problème initial est alors décomposé en n modèles plaque donnant une formulation 2D homogène et déterministe après passage à la limite par Γ-convergence (voir [3] pour la méthode). Nous reconstruisons alors une structure 3D homogène et déterministe par une intégration variationnelle. Nos différents résultats sont validés par une étude numérique. Mots clés -Modélisation variationnelle, homogénéisation de matériaux composites, analyse numérique, analyse asymptotique, problème non-local.

The renewable energy sources like wind energy takes an important role to achieve sustainable goal. The wind energy is freely available pollution-free source by which electricity can be produced by the help of wind turbine. Small wind is available in Kota of speed 3m/s to 5 m/s for whole year. So small windmill which can be operated on the small and medium wind can be installed in Kota along with the Chambal River in plain areas and nearby hills. This study focuses on the design and simulation of a 1 kW grid-connected wind energy power plant for a Department of Renewable Energy building in Kota, India. The project aims to harness wind energy as a sustainable source of power to meet the energy demands of the building. By integrating a small-scale wind turbine with the existing grid infrastructure, this system ensures both renewable energy generation and reliability through grid support. The wind energy potential of the Kota region is analyzed, and the system is designed based on local wind speed patterns. The design includes key components such as the wind turbine, power electronics for grid interfacing, and battery storage for energy stability. Simulations are conducted using MATLAB/Simulink to evaluate the system's performance in terms of energy output, efficiency, and grid compatibility. The study demonstrates the feasibility of implementing small-scale wind energy systems in urban institutional buildings and highlights the potential of renewable energy integration in India's energy mix.

In the proposed work, an efficient numerical strategy has
been developed for solving a singularly perturbed reaction-diffusion
problem (SPRDP). Shishkin mesh has been considered for tackling
the boundary layers arising in the solution. Domain discretization has
been carried out using Galerkin finite element method. To
demonstrate the effectivity of proposed numerical scheme, numerical
experiments have been carried out which shows that sharp boundary
layers appear in the solution as singular perturbation parameter
"Keywords: Reaction-diffusion problem, Galerkin finite element
method, Shishkin mesh, Singular perturbation."

In this work we present a simplified study of the tone of some string instruments as piano, harpsichord, harp andguitar. The study is done from the unidimensional d’Alembert equation without damping, gravity and string rigidityeffects. The amplitud of the eight first harmonics is calculated and compared with real instruments. The importance ofthe initial conditions on the produced harmonic is shown.

partículas en un plasma no colisional, y provee una descripción cinética completa del plasma cuando la dinámica de las partículas está gobernada por interacciones electromagnéticas de largo alcance. Si los campos magnéticos auto generados y externos son despreciables, entonces la fuerza de Lorentz se debe sólo al campo eléctrico, el cual puede computarse a partir de la ecuación de Poisson en el caso no relativista. En este artículo, se presentan discretizaciones de segundo orden, basadas en diferencias finitas y en volúmenes finitos, para la resolución del sistema Vlasov-Poisson sobre un espacio de fases bidimensional. La precisión de los esquemas se evalúa y compara a través del problema de pruebas clásico del amortiguamiento de Landau. Además, son examinadas algunas propiedades de conservación importantes del sistema Vlasov-Poisson, como el principio del máximo y la conservación de momentos de la función de distribución.

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en s'appuyant sur une théorie angulaire. Nous établissons d'abord un lien fondamental entre les angles infinitésimaux associés aux nombres premiers et la fonction zêta, puis étendons cette interprétation à une structure géométrique complexe pour dériver des résultats analytiques sans recourir à l'Hypothèse de Riemann (HR).

Les choix technologiques sont naturellement orientés vers l'utilisation des pièces légères dont au moins une des dimensions est beaucoup plus petite que les autres, tels que des profils ou des plaques, mais le comportement des pièces souples présente des défis particuliers pour les ingénieurs lors de la spécification géométrique, la raison est que les pièces souples peuvent prendre à l'état libre une forme substantiellement différente de leur géométrie nominale. Avec le développement de la conception des systèmes mécaniques, les méthodes traditionnelles d'analyse des tolérances, tels que la méthode pire des cas et la simulation de Monte Carlo, ne sont pas applicables à des assemblages flexibles en raison de la déformation possible de la pièce pendant le processus d'assemblage. Cette communication porte sur la présentation du tolérancement des mécanismes déformables à travers l'illustration de la problématique générale afin d'aborder dans un deuxième temps une étude des mécanismes déformables (flexibles) en utilisant la méthode des coefficients d'influence et enfin la modélisation d'un mécanisme de ce type à travers un exemple en vue d'une analyse des tolérances dimensionnelles et géométriques. Mots clefs -tolérancement, analyse des tolérances; mécanismes déformables ; méthode de Monte Carlo ; méthode des coefficients d'influence.

This study explores the application of the Fractional Finite Difference Method (FFDM) in solving the Time-Fractional Korteweg-de Vries Burgers (TFKdVB) equation. The method utilizes the Caputo fractional derivative and central finite difference schemes to discretize the governing equation. The primary objective is to evaluate the accuracy and stability of the numerical approach. The effectiveness of the method is demonstrated through numerical example, where absolute errors are computed for different fractional orders and grid sizes. Comparative analysis with existing methods, such as the Variational Iteration Method (VIM), reveals that the FFDM approach provides superior accuracy with reduced computational complexity. The results indicate that FFDM is a promising numerical technique for solving fractional differential equations.

A higher order a.(:curat(' mnnerical t)roce(ture has been deveh)l)ed for solving incompressibh' Navier-Stokes equations for 2D or 3D fluid flow t)roblems. It is base(l on low-storage Runge-Kutta schemes for temporal discretization and fourth an(I sixth order corot)act finite-difference schemes for spatial discretization. Th(" particular difficulty of satisfying the divergence-free velocity field required in incompressit)le

In this paper, we develop a hybrid approach to solve the viscous Burgers' equation by combining classical boundary layer theory with modern Physics-Informed Neural Networks (PINNs). The boundary layer theory provides an approximate analytical solution to the equation, particularly in regimes where viscosity dominates. PINNs, on the other hand, offer a data-driven framework that can address complex boundary and initial conditions more flexibly. We demonstrate that PINNs capture the key dynamics of the Burgers' equation, such as shock wave formation and the smoothing effects of viscosity, and show how the combination of these methods provides a powerful tool for solving nonlinear partial differential equations.

Pada project ini bertujuan untuk mengetahui distribusi panas radiasi matahari pada permukaan tanah dan mensimulasikannya secara numerik menggunakan metode finite difference, dimana pada permukaan tanah terdapat susunan lapisan tanah yang bervariasi sebagai medium penyerapan. Lapisan tanah yang digunakan yaitu Lempung, Pasir, dan kerikil yang memiliki koefisien difusivitas termal bervariasi. Metode pada project ini yaitu finite difference menggunakan bahasa pemograman phyton. Tahap dalam metode finite difference ini yaitu dengan menentukan persamaan differensial yang sesuai, diskretisasi ruang dan waktu, memberikan parameter yang dibutuhkan, inisialisasi suhu hingga memperbarui suhu dengan mempertimbangkan kedalaman dan jenis tanah.

Savonius and Darrius rotors are the most popular vertical axis wind turbines (VAWT). However, both of them have disadvantages: low starting torque of the Darrieus rotor, which prevents it from self-starting, and low speed of the Savonius rotor which makes it inappropriate for power generation. Using a hybrid Savonius-Darrieus turbine is a solution to compensate these disadvantages. In this paper the torque of a Darrieus-Savonius hybrid wind turbine is estimated by means of computational fluid analysis (CFD), and improved designs are proposed and analysed, in order to establish the increase in performance against the original model. A first change in design was to remove the shaft from the inside of the Savonius rotor. A second change consists in the removal of the Savonius rotor from inside of the Darrieus one and placing it outside the rotor. CFD analysis was performed on these configurations. For the first one, the torque increased by 10.5%, while the average torque increase for t...

Cette contribution propose une nouvelle approche des équations du contact-frottement, basée sur un nouveau schéma d'intégration des équations de la méthode continue. Après avoir rappelé les équations de la méthode continue et le schéma d'intégration actuel, le nouveau schéma d'intégration est présenté. Les propriétés du nouveau schéma d'intégration sont ensuite discutées et illustrées dans le cas du décollement. Mots clés -contact-frottant, méthode continue, intégration numérique

Cette contribution propose une nouvelle approche des equations du contact-frottement, basee sur un nouveau schema d'integration des equations de la methode continue. Apres avoir rappele les equations de la methode continue et le schema d'integration actuel, le nouveau schema d'integration est presente. Les proprietes du nouveau schema d'integration sont ensuite discutees et illustrees dans le cas du decollement.

La subdivision de l'element parent en sous-cellules d'integration utilisee dans le cadre de la methode X-FEM convient difficilement a l'etude de la propagation d'une fissure dans un milieu plastifie. Il est alors notamment necessaire de realiser la projection des variables internes aux points d'integration des sous-elements. Cette contribution etend au cas de la plasticite une methode d'integration utilisant les formules de quadrature de Gauss standards, initialement developpee dans le cadre de l'elasticite lineaire. La methode proposee se limite aux cas des interfaces et des elements lineaires.

Dans le cas general d'une discontinuite positionnee arbitrairement dans un maillage, la methode X-FEM peut presenter une convergence sous-optimale. En effet, lorsque l'interface X-FEM se rapproche des nœuds du maillage, le conditionnement augmente exponentiellement, tandis qu'une erreur numerique notable, se propage dans toute la structure. Ces limitations sont intrinseques a la formulation X-FEM. Nous discuterons de differents remedes a cet etat de fait.

A partir d'une formulation d'X-FEM pour le traitement du contact frottant, nous rappelons les différents types d'éléments finis X-FEM de contact 2D afin d'introduire de nouveaux éléments quadratiques en déplacement -linéaire en pression en petites perturbations et grands glissements. Trois cas numériques 2D sont réalisés et montrent l'aptitude des éléments finis X-FEM quadratiques 2D à améliorer la précision des calculs de déformation et des pressions de contact pour des interfaces courbes. Mots clefs -X-FEM, contact frottant, élément quadratique.

Nous présentons une implémentation X-FEM capable de représenter des conditions de contact et frottement pour des surfaces de failles dans des bassins sédimentaires. Ces failles constituant des réseaux avec intersections, nous définissons un enrichissement du champ de déplacement qui représente les jonctions entres ces surfaces de discontinuité. Pour satisfaire la condition LBB sur l'espace des inconnues de contact par rapport aux inconnues de déplacement, nous proposons d'utiliser une interpolation P 0 sur les jonctions. Un cas d'application d'un bassin sédimentaire démontre la robustesse de la méthode. Mots clés -X-FEM, contact, frottement, LBB, failles.

Le carton ondulé est un sandwich utilisé le plus souvent pour l'emballage sous forme de caisse. Sa recyclabilité et sa biodégradation font que c'est l'un des emballages les plus utilisé. Sa mise en oeuvre sous forme de structure sandwich rend les études numériques du produit (caisses) très lourdes. Des modèles analytiques et numériques ont été développés pour prédire le comportement mécanique du matériau homogénéisé. Suite à cela les études deviennent plus souples et moins coûteuses. Un modèle analytique d'homogénéisation basé sur la théorie de stratification a été proposé dans de précédentes études. Ce dernier permet de prédire le comportement élastique du carton ondulé. Ce travail propose, dans un premier temps, une extension de ce modèle, au cas de carton ondulé composé de plus de trois constituants. Une simulation numérique de flexion permettant d'inclure l'effet de cisaillement est proposée. Par la suite le modèle analytique est étendu pour prédire le comportement anélastique du carton ondulé.

The success recently encountered by physically-based modeling (or model-based approaches) for music should not mask the deep challenges that remain in this area. This article first proposes an overview of the various goals that researchers and musicians, respectively operating from scientific and end-user perspectives, may pursue. Among these goals, those recently proposed or particularly critical for the coming years of research are highlighted. The article then introduces ten criteria that summarize the main features an optimal physically-based modeling scheme or language should present. With respect to these, it proposes an evaluation of the major approaches to physically-based modeling.

Physical modeling sound synthesis methods are known to be on the one hand potentially interesting in term of sound richness and probability, but on the other hand expansive to develop and compute. This paper is dedicated to mass-interaction methods using explicit time. By studying theoretically a specific model, we define a new basic modelization toolkit using non-linear stiffness and we show how it is possible to reach a balance between computing speed and sound realism.

Recently, the Johannesburg Stock Exchange (JSE) launched a new range of exotic products, namely the Can-Do. The main idea behind the Can-Do products is to help financial institutions list some of their exotic options on the exchange. Cando’s are market to model. These products are all modelled with the celebrated Black-Scholes (Black & Scholes, 1973) partial differential equation (PDE) but with exotic features. Due to the inherent complexity of these features in the modeling equations, one can rarely find closed-form analytical solutions to these options. Therefore one has to resort to numerical methods. In the literature, four main families of methods where developed and are used extensively to solve option pricing problems. These include lattice methods (Breen, 1991), (Cox, et al., 1979), Monte Carlo simulations (Barraquand & Martineau, 1995), (Broadie & Glasserman, 1997), finite difference (FD) methods (Brennan & Schwartz, 1977), (Brennan & Schwartz, 1978) and analytical approximations (Carr & Faguet, 1994), (Geske & Johnson, 1984).

The use of finite difference methods for solving PDEs on a computer goes back almost to the 1950s since its invention. In finance, these methods were introduced in the 1970’s after the derivation of the Black-Scholes model. The sophistication of these methods in finance has become a field of extensive research. These include alternating finite difference (ADI) methods (Hout & Foulon, 2010), adaptive grids (Persson & Sydow, 2010), grids stretching (Oosterlee et al., 2005) and compact finite differences (Tangman et al., 2008), to name but a few. The interested reader is referred to two important textbooks (Daniel J, 2006), (Tavella & Randall, 2000) in the literature that cover financial derivatives pricing with finite difference methods exclusively.

This document provides a base for the valuation methods used in the Can-Do product space. Thus, we will not re-document already well-documented models and methodologies. This document will rather focus on the application of these methods to the JSE Can-Do products.

Les choix technologiques sont naturellement orientés vers l'utilisation des pièces légères dont au moins une des dimensions est beaucoup plus petite que les autres, tels que des profils ou des plaques, mais le comportement des pièces souples présente des défis particuliers pour les ingénieurs lors de la spécification géométrique, la raison est que les pièces souples peuvent prendre à l'état libre une forme substantiellement différente de leur géométrie nominale. Avec le développement de la conception des systèmes mécaniques, les méthodes traditionnelles d'analyse des tolérances, tels que la méthode pire des cas et la simulation de Monte Carlo, ne sont pas applicables à des assemblages flexibles en raison de la déformation possible de la pièce pendant le processus d'assemblage. Cette communication porte sur la présentation du tolérancement des mécanismes déformables à travers l'illustration de la problématique générale afin d'aborder dans un deuxième temps une étude des mécanismes déformables (flexibles) en utilisant la méthode des coefficients d'influence et enfin la modélisation d'un mécanisme de ce type à travers un exemple en vue d'une analyse des tolérances dimensionnelles et géométriques. Mots clefs -tolérancement, analyse des tolérances; mécanismes déformables ; méthode de Monte Carlo ; méthode des coefficients d'influence.

Coalbed methane (CBM) production relies on dewatering coal seams to allow gas flow, and the injection of carbon dioxide to maintain effective reservoir pressure. Injection of carbon dioxide into CBM strata also serves as an effective method of subsurface greenhouse gas sequestration. Both dewatering and gas injection alter the acoustic impedance and hence reflectivity of coal strata. Physical tests and

Аннотация. Проводится численное моделирование эволюции электронных состояний под действием неоднородного внешнего электрического поля в структуре металл-диэлектрик-полупроводник (МДП-структуре) при наличии одиночного донорного центра. В качестве источника электрического поля рассматривается нанометровый дискообразный затвор, для расчета потенциала которого решается задача для уравнения Лапласа в многослойной среде. Энергетический спектр связанного электрона находится из задачи для стационарного уравнения Шредингера. Для решения обеих задач строятся разностные схемы. Разностная схема для уравнения Шредингера учитывает неаналитичность волновой функции в точке расположения донора. При решении задачи для уравнения Лапласа предлагаются асимптотические граничные условия, аппроксимирующие потенциал внешнего поля на больших расстояниях от затвора в различных слоях, что позволяет существенно уменьшить расчетную область. Исследуется влияние этих граничных условий на точность вычисления потенциала и энергий. С помощью построенных разностных схем рассчитываются зависимости энергетического спектра связанного электрона от потенциала на затворе, определяются значения критического потенциала, при котором происходит передислокация волновой функции электрона. На основании результатов вычислений устанавливается, что управляющим параметром для описания поведения электрона является разность потенциалов между донором и поверхностью полупроводника. Показывается, что критическая разность потенциалов практически не зависит от толщины и проницаемости диэлектрического слоя. Ключевые слова: метод конечных разностей, МДП-структура, уравнение Шредингера, нанозатвор, энергетический уровень, численное моделирование Для цитирования. Левчук, Е. А. Использование метода конечных разностей для расчета электронных состояний в МДП-структуре с одиночным донором / Е. А.

L'effet Trou Noir Acoustique (TN) est une technique passive d'amortissement de vibrations sans ajout de masse fondée sur les propriétés des ondes de flexion dans des structures minces d'épaisseur variable. La mise en oeuvre habituelle consiste en une plaque avec une extrémité profilée selon une loi exponentielle, recouverte d'un film viscoélastique. L'inhomogénéité de la structure conduit à une baisse de la célérité et une augmentation de l'amplitude des ondes de flexion, ce qui a pour conséquence une dissipation d'énergie efficace quand un film amortissant est placé dans la zone de faible épaisseur. Lorsqu'un tel profil est placé à l'extrémité d'une poutre, des caractérisations expérimentales sont possibles à l'aide du coefficient de réflexion ou du recouvrement modal. Des modèles numériques d'une telle structure existent et peuvent aider à comprendre le rôle de la variation d'épaisseur, les effets d'imperfections de fabrication ou encore les effets non-linéaires dus aux faibles épaisseurs.

L'effet Trou Noir Acoustique (TN) est une technique passive d'amortissement de vibrations sans ajout de masse fondée sur les propriétés des ondes de flexion dans des structures minces d'épaisseur variable. La mise en oeuvre habituelle consiste en une plaque avec une extrémité profilée selon une loi exponentielle, recouverte d'un film viscoélastique. L'inhomogénéité de la structure conduit à une baisse de la célérité et une augmentation de l'amplitude des ondes de flexion, ce qui a pour conséquence une dissipation d'énergie efficace quand un film amortissant est placé dans la zone de faible épaisseur. L'amplitude des ondes à l'extrémité peut facilement atteindre l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la plaque, ce qui est une source de non-linéarités géométriques. Ces nonlinéarités peuvent avoir pour conséquences des couplages entre les modes de vibration de la structure, et induire un transfert d'énergie des basses fréquences vers les hautes fréquences. Ce phénomène de transfert d'énergie peut être exploité pour augmenter l'efficacité du traitement dans le domaine des basses fréquences pour lequel le trou noir est peu efficace. Une expérience montre que la terminaison TN se comporte de manière non-linéaire et permet un couplage entre modes. Un régime fortement non-linéaire peut également être observé, qui est associé au phénomène de turbulence d'ondes. Une modélisation d'une poutre TN comme une plaque de von Kármán d'épaisseur variable et une résolution du problème par une méthode modale permet de confirmer les effets observés dans l'expérience et d'analyser plus finement ces résultats.

La méthode des éléments finis formulée en déplacement nécessite un critère de convergence lorsqu'elle est employée en mécanique non linéaire avec des algorithmes de résolution itératifs. Ce critère de convergence vise à mesurer la proximité du champ de contrainte obtenu avec l'équilibre. Les critères usuels ne fournissent pas une mesure objective de la distance à l'équilibre : la taille des mailles et les dimensions physiques qui composent le résidu influe sur la valeur du critère. Un nouveau critère est proposé qui répond à cette double critique. Mots clefs -méthode éléments finis, critère de convergence, Code_Aster.

La méthode des éléments finis formulée en déplacement nécessite un critère de convergence lorsqu'elle est employée en mécanique non linéaire avec des algorithmes de résolution itératifs. Ce critère de convergence vise à mesurer la proximité du champ de contrainte obtenu avec l'équilibre. Les critères usuels ne fournissent pas une mesure objective de la distance à l'équilibre : la taille des mailles et les dimensions physiques qui composent le résidu influe sur la valeur du critère. Un nouveau critère est proposé qui répond à cette double critique. Mots clefs -méthode éléments finis, critère de convergence, Code_Aster.

La plupart du temps, les calculs d'impact acoustique des installations industrielles sont réalisés avec des méthodes d'ingénierie ayant été développées initialement pour le étudier bruit des transports. Pour ce type de source assimilable à une source linéique, les hypothèses 2D des modèles simplifiés sont bien adaptées. En revanche, les sources de bruit industriel sont plutôt représentées par les sources ponctuelles pour lesquelles les effets 3D sont à considérer. Parmi ces effets, la diffraction par les obstacles doit tenir compte non seulement de la diffraction par-dessus l'obstacle mais aussi de la diffraction sur les côtés. Les méthodes simplifiées sont donc généralisées au cas 3D, en considérant chaque arête diffractante comme une arête de dimension infinie. Dans cet article, on compare plusieurs approches simplifiées permettant la prise en compte de la diffraction latérale à des résultats de calcul BEM adaptés au cas d'un écran mince.

Present study numerical solution on hydromagnetic flow of Jeffrey fluid over a deformable porous channel with slip conditions is studied. The governing partial differential equations are converted to ordinary non-linear differential equations with the assistance of non-dimensional quantities. The governing differential equations are solved by using Runge-Kutta fourth order besides shooting technique with MATLAB package and also the mass flow rate is additionally studied. The influence of governing parameters on the fluid velocity, the solid displacement and also the concentration are shown with the assistance of graphs. The current results are sensible agreement with existing studies under some special cases. We have a tendency to discovered that the fluid velocity, solid displacements are decay for higher values of magnetic parameter and also the opposite nature discovered for the influence of Jeffrey parameter. The impact of slip boundary conditions on the fluid velocity, the temperature and also the concentration also are studied.

In this paper, we analyze a type of finite-difference schemes, a newly developed Weighted Compact Scheme (WCS) developed by L. Jiang L, H. Shan, C. Liu, [Weight Compact Scheme for Shock Capturing, International Journal of Computational Fluid Dynamics, 15, pp.147-155 (2001)], in terms of order of accuracy and numerical dissipation and dispersion. Further results of numerical implementation have indicated their effectiveness in approximating shock discontinuities. The scheme is shown to be of high order of accuracy in regions where the solutions are smooth; while in regions of shock, they are of lower orders but are capable to overcome numerical oscillations with the help of weights. The scheme is compactable and complements with the famous WENO scheme. Our analysis has shown the plausibility that the WCS and WENO schemes can work together to provide a numerical method to efficiently capture discontinuities as well as other small-scale features.